RLC回路と微分方程式

はじめに

本記事では、RLC回路の微分方程式をpythonプログラムを用いて解くことを目的とする。

プログラミングの紹介

RLC直列回路の微分方程式は以下の様に表すことが出来る。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?Rj+L\frac{dj}{dt}+\frac{1}{C}\int i dt =V_{in} ,(V_{out}=Rj)$

この式は、ラプラス変換や二階級微分の解き方によって解くことが出来る。

今回は、二回微分の解き方を用いて微分方程式を解く事にする。

まず、積分領域を微分方程式から削除するために、両辺を時間で微分する。

これを整理すると以下の様になる。

ここで、解をと仮定して代入すると以下の様な二次方程式が出来上がる。

これを解くと以下の様になる。

ゆえに、の場合は、

振動しないで減衰する。

一方で、の時は、減衰振動をする。

以上を念頭にして、ここでは微分方程式をコンピューターに解かせるプログラムを作ったので紹介する。

PythonのSympyというライブラリが微分方程式を解くのに便利なので用いた。（Scipyではないので注意して欲しい）

import sympy as sym
from sympy.plotting import plot
sym.init_printing(use_unicode=True)
#%matplotlib inline


#回路定数
R = int(input("整数値を入力してください　抵抗値[Ω]　"))     # 抵抗値
L = int(input("整数値を入力してください　インダクタ[mL]"))*1e-3    # インダクタンス
C = int(input("整数値を入力してください　静電容量[uF]"))*10e-6   # 静電容量


if((R/(2*L))**2>1/(L*C)):
    print("振動せずに収束する")
else:
    print("振動しながら収束する")


a, b, c, x, y = sym.symbols("a b c x y")

f = sym.Function('f')
g = sym.Function('g')


# 常微分方程式
eq = sym.Eq(f(x).diff(x,2)*L*C + f(x).diff(x,1)*R*C + f(x))
eq

# 一般解
ans = sym.dsolve(eq)
print(ans)
ans



# 特殊解
ans = sym.dsolve(eq, ics={f(0):1, f(x).diff(x,1).subs(x, 0):1})
print(ans)
ans

#グラフの描写
plot(ans.rhs, (x, 0, 10*(L*C)**0.5)) # rhs は右辺(Right-hand side)の意味

振動減衰の曲線は以下の様になる。