ノーズカーブと数値解析

はじめに

今回は、送配電の分野において受電端電力と受電端電圧の関係をグラフ化したノーズカーブを実際にPythonを用いた数値解析でプロットすることにより、ノーズカーブの導出について理解を深めることを目的にする。

モデル

今回は、計算がしやすいように、近距離型の送電モデルで考える。つまり送電線の抵抗値はインダクタンスと比較して十分小さいものとする。

まず、電力方程式は抵抗成分まで考えると以下の様になる。（Pythonファイルでは、まずこの方程式を受電端電力について解いた後に、抵抗値に０を代入することで今回の近距離型のモデルを再現した。）

Pythonによる作図

さて、いよいよ作図に入るが、方程式を代数的に解くライブラリであるsympyを今回は用いた。

pip install sympy

でインストールすることが出来る。

また、今回はすべての値を単位法で固定してある。

Q=0[p.u.],r=0[p.u],x=1[p.u.],V_s=2.0[p.u.]としたときのP-Vr曲線を描くプログラムを以下に示す。

from sympy import Symbol, symbols, solve, simplify
from sympy.plotting import plot

V_r = Symbol('V_r')
P, Q, x,r,V_s = symbols('P Q x r V_s')
#y = 0となる方程式つまり電力方程式をV＿ｒを軸にして解く
y=(P*r+Q*x+V_r**2)**2+(Q*r-P*x)**2-(V_r*V_s)**2
solved = solve(y,V_r)
solved
#受電端電圧の解全ての表示
print(solved)

#条件（値）の入力
ary = [(Q,0),(r,0),(x,1),(V_s,2),]

V_r_1=solved[1].subs(ary)
V_r_2=solved[3].subs(ary)
#グラフ化、2つのグラフを重ねる
p = plot(V_r_1, V_r_2,(P, 0, 2), legend = True, show = False)

p[0].line_color = 'b'#配色
p[1].line_color = 'r'

p.show()

これによって描かれたグラフを以下に示す。

この様に、上下のグラフに分かれることが出来る。上のグラフと負荷曲線の交点が安定解で、下のグラフとの交点は不安定解となる。

まとめ

一般的に、ノーズカーブは送配電工学でも複雑な計算式となるので、嫌煙されがちであるが、代数方程式を解くpythonのライブラリであるsympyを用いれば、比較的簡単に電圧解を求めることが出来て、グラフをプロットすることが出来ることが分かった。

参考:sympyを使用しない場合

ちなみに、sympyを使用しない場合でも4次方程式を解いて正の解のみをプロットすることにより、ノーズカーブを描写することができる。ただし、送電モデルは以下の参考文献と同様にした。

ノーズカーブと4次方程式




import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

P = np.arange(0.0, 1.0, 0.01)


Q=0.0

V_s=1.0

X=1.0
Y=0.00




#簡単のため

alpha = Q/P


#y=ax**2+b*x+c(x=V,y=P)

a=(1/X-Y)**2
b=2*P*(1/X-Y)*alpha-(V_s/X)**2
c=(1+alpha**2)*P**2

#安定解
V_r_1=((-b+(b**2-4*a*c)**0.5)/2*a)**0.5
#不安定解
V_r_2=((-b-(b**2-4*a*c)**0.5)/2*a)**0.5




plt.plot(P,V_r_1, 'r-')
plt.plot(P,V_r_2,'b-')
plt.xlim(0,0.5)
plt.ylim(0,1)

plt.title('ノーズカーブ,X=%f'%X,fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('有効電力P',fontname="MS Gothic")
plt.ylabel('受電端電圧V_r',fontname="MS Gothic")


plt.show()

以下に示すのは、送電線インダクタンスXを変化させた場合の変化のグラフである。Xが小さいほど送電可能電力Pが増加しているということがわかる。