ポアソン方程式について

ポアソン方程式について

本記事では、マクスウェル方程式から電界を求めた方法と同様の方法を用いてマクスウェル方程式からベクトルポテンシャルという概念を用いて磁界を求めることを目標とする。

電界と磁界には、似ている点が多いので、これを機に理解しよう!!

ガウスの法則

 

ガウスの法則は以下の様に表せる。

ここで、電界と電位の関係

を用いて、式を変形すると以下の様になる。

一般的に、このような式をポアソン方程式と呼び、解はクーロンの法則により以下の様になる。

アンペールの法則

変位電流を無視した場合、マクスウェル方程式より、微分系は以下の様に表せる。

ここで、以下のベクトルポテンシャルを導入Aする。

これをベクトル解析の公式

を用いて整理すると以下の様になる。

ただし、

 

ゆえに、

ここで、これはポアソン方程式なので、解は以下の様になる。

ベクトルポテンシャルから磁界を求めると以下の様になる。

まとめ

本記事では、ガウスの法則としての解としてのクーロンの法則とどうような関係を磁界についても考慮することにより、アンペールの法則の解としてのビオザバールの法則を導出した。

参考文献



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