はじめに
一様な電場Eがかかっている空間において、電荷qの荷電子は電場EよりqEの力を受ける。その場合、その力は一様電場の仮定の下では運動方程式より荷電子の加速度は一定となる。ゆえに、荷電子は放物線運動をとる。今回は、このことについてシミュレーションを用いて考察してみる。
一様な磁場空間に対するシミュレーションは以下の記事を参考にして欲しい。
運動方程式
磁場が働いていない、一様な電場空間では質量m,電荷qの荷電子の運動方程式は以下のように表すことができる。
ゆえに、加速度ベクトルは以下のように表すことができる。
荷電子の位置と速度
次に、加速度ベクトルと速度ベクトル、位置ベクトルの関係について考察する。以下時刻tにおいて微小時間⊿tが経過した場合のそれぞれのパラメータの変化について考察すると以下のようになる。
(ただし、微小区間では、速度と加速度の変化は無視できるほど小さいものとする)
位置の変化
速度の変化
この操作をt=0からt=tの時まで繰り返し行うことによってシミュレーションが可能となるはずである。
プログラム
Pythonプログラムは以下のようになる。今回は放物線運動を考えたいので、平面空間とした。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#パラメータ
E=np.array([0,-1])
q=1.0
m=1.0
#初期条件 (x,v,a)=(位置,速度,加速度)
x=np.array([1,0])
#斜め上に発射
v=np.array([1,1])
#a=np.array([-1,0,0])
#2次元のグラフ（散布図）を描くための設定
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot()
#初期時間
t=0
#微小時間の時間間隔(小さくするほど精度は上がるが計算時間が比例して増大する)
delta_t=0.01
while(t<10):
a=+q*E/m
#速度の微小変化
v=v+a*delta_t
#位置の微小変化
x=x+v*delta_t
#電場による加速
#時間の更新
t=t+delta_t
#print(x)
#粒子の位置を記録
ax.scatter(x[0], x[1], color='blue')
#グラフを保存する
plt.savefig("houbutusen.png")
#グラフの表示
plt.show()
このプログラムを実行すると以下のようなグラフが出力される。
このように、見事に放物線を描いているということがわかる。これは、空気抵抗が存在しない場合での重力による物体の軌跡と似ているものがある。
まとめ
今回は、一様な電場空間において荷電子が放物線運動を示すことをシミュレーションによって示すことを試みた。一様磁場の場合はローレンツ力によって荷電子はらせん運動をするが、同様の微分方程式を粗い近似で解くアルゴリズムによって示すことができた。このアルゴリズムを改良するためには、近似の仕方を工夫する必要性や微小時間をより小さくするといった工夫が必要になる。ただし、いずれの場合も計算量が増大してしまう可能性がある。なので、シミュレーションを行うときは、計算精度と同様に計算時間も考慮に入れることが必要となってくる。また、このテーマの問題は、電験理論に出る可能性があるので、しっかりと復習をしておいて欲しい。
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