ラプラス変換表

ラプラス変換定義

ラプラス変換の定義を以下に示します。積分計算なので、足し算や定数倍でも成立します。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?F(s)=\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$

見て分かる通り時間で0から無限大まで積分するので、ラプラス変換後の関数はsのみの関数となります。

以下に、覚えておいた方が良い重要な公式などをラプラス変換表としてまとめたので、暗記などにお役立てください。

$f(t)$	$F(s)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta(t)$	$1$
$1$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{s}$
$t$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{s^2}$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ \cdot \\ \cdot \\\cdot \\$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ \cdot \\ \cdot \\\cdot \\$
$t^n$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{n!}{s^{n+1}}$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{at}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{s-a}$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?sin\omega t$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?cos\omega t$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$f'(x)$	$sF(s)-f(0)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{-1}(x)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{-1}(0)}{s} \because f^{-1}(t) = \int_{0}^{t}f(t)dt$
$f(at)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
$f(at)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$
$f(t-a)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{-as}F(s)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(t\rightarrow 0)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?sF(s) (s\rightarrow 0 )$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(t\rightarrow \infty )$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?sF(s) (s\rightarrow \infty )$

公式の導出

デルタ関数

デルタ関数とは、以下の様な、信号面積が1だが、時間は一瞬のパルスである。

デルタ関数の定義

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle&space;\mathcal{L}[\delta(t)]\\=\int_{0}^{\infty}\delta(t)e^{-st}dt\\=\lim_{\epsilon\to&space;0}\int_{0}^{\epsilon}\frac{1}{\epsilon}e^{-st}dt\\=\lim_{\epsilon\to&space;0}\frac{1}{\epsilon}[-\frac{1}{s}e^{-st}]^{\epsilon}_{0}\\=&space;\lim_{\epsilon\to&space;0}\frac{1-e^{-s\epsilon}}{s\epsilon&space;}\\=-\frac{\mathrm{d}&space;e^{-x}}{\mathrm{d}&space;x}|_{x=0}=1$

高次元関数

定数項

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [ 1] = \int_{0}^{\infty} 1\cdot e^{-st} dt=\frac{1}{s}$

n=1

この式と積分の式を使用すると、 $t^n$ はt=0 の時は0(初期条件は0)より、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [ t] =\frac{1}{s^2}$

n=2

問題は、 $t^2$ 以降である。

tを積分すると $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{2}t^2$ なので、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [ \frac{1}{2}t^2 ] =\frac{1}{s^3}$

と表すことが出来る。これを変形することで、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathcal{L} [ t^2 ] =\frac{2}{s^3}$

n=3

さらにこれを積分すると、以下のようになる。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathcal{L} [ \frac{1}{3}t^3 ] =\frac{2}{s^3}\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s^4}$

整理して、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathcal{L} [ t^3 ] =\frac{3\cdot 2\cdot1}{s^4}=\frac{3!}{s^{3+1}}$

nが一般の場合

このような操作を帰納的に行うと以下の式が成立する。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathcal{L} [ t^n ] =\frac{n!}{s^{n+1}}$

指数関数

普通にラプラス変換の定義式を用いて積分します。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathcal{L} [ e^{at} ] =\int_{0}^{\infty} e^{at}\cdot e^{-st} dt =\frac{1}{s-a}$

と言われればそれでおしまいなのですが、ここではテイラー展開を用いた別の方法で導出してみようと思います。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2 + \cdot \cdot\cdot=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

を利用して、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{at} = 1+at+\frac{1}{2}a^2t^2 + \cdot \cdot\cdot=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{a^n t^n}{n!}$

これによって、指数関数は、高次元関数の無限級数展開で表すことができます。ゆえに、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathcal{L} [ e^{at} ] =\mathcal{L} [ 1+at+\frac{1}{2}a^2t^2 + \cdot \cdot\cdot ] =\mathcal{L} [ \sum_{n=0}^{\infty }\frac{a^n t^n}{n!} ]\\=\mathcal{L}[1]+a\mathcal{L}[t]+\frac{1}{2}a^2\mathcal{L}[t^2]+\cdot \cdot\cdot=\sum_{n=0}^{\infty }a^n \mathcal{L}[\frac{t^n}{n!} ]=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{a^n}{s^{n+1}} \\ =\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{s}(\frac{a}{s})^n=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1-\frac{a}{s}}=\frac{1}{s-a}$
となるので、導出することができました。三角関数においても、テイラー展開が存在するので、

同じやり方で三角関数の場合も示すことができます。

三角関数

一般的には、以下のオイラーの公式を使用します。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{i\theta}=cos\theta+i sin\theta$

ここで、 $https://latex.codecogs.com/svg.image?\theta \rightarrow -\theta$ とすると以下の式ができます。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{-i\theta}=cos\theta-i sin\theta$

この2式の和を取り2で割ると、以下のことがわかります。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

これを、ラプラス変換すると以下の様になります。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L}[cos\omega t]=\displaystyle \mathcal{L}[\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}]=\frac{1}{2}\frac{2s}{(s+j\omega t)(s-j\omega t)}=\frac{s}{s^2+\omega ^2}$
一方で、差を取ると以下の式になります。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

ゆえに、この式をラプラス変換すると以下の様になります。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L}[sin\omega t]=\displaystyle \mathcal{L}[\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2i}]=\frac{1}{2i}\frac{2i\omega }{(s+j\omega t)(s-j\omega t)}=\frac{\omega}{s^2+\omega ^2}$

微分

それでは、ラプラス変換の微分について考えてみましょう！！高校で扱った数3の積の積分公式を用います。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} dt\ \\ = [f(t)e^{-st}]_0^\infty-\int_{0}^{\infty} f(t) (e^{-st} )'dt\\=[f(t)e^{-st}]_0^\infty-\int_{0}^{\infty} f(t) (-se^{-st})dt\\=\int_{0}^{\infty} f(t) se^{-st}dt-f(0)\\=s\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt-f(0)\\=F(s)-f(0)$

積分

積分の場合も微分の場合のように、積の積分法則を使用します。ただ、あらかじめ微分しておく関数が逆なだけです。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} dt\ \\ = [f(t)e^{-st}]_0^\infty-\int_{0}^{\infty} f(t) (e^{-st} )'dt=[f(t)e^{-st}]_0^\infty-\int_{0}^{\infty} f(t) (-\frac{1}{s}e^{-st})dt \\=\int_{0}^{\infty} f(t) \frac{1}{s}e^{-st}dt+\frac{f(0)}{s}=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt+\frac{f(0)}{s}\\=\frac{F(s)}{s}+\frac{f(0)}{s}$

圧縮

定義式に素直に代入します。
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \int_{0}^{\infty} f(at) e^{-st} dt\\=\int_{0}^{\infty} f(t_1) e^{-\frac{s}{a}t_1} \frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d} t_1}dt_1(\because t_1=at)\\ =\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} f(t_1) e^{-\frac{s}{a}t_1} dt_1=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$

指数関数との積

定義式に素直に代入します。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [e^{at}f(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{at}f(t) e^{-st} dt= \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-(s-a)t} dt=F(s-a)$

この式からも分かる様に、ラプラス変換は指数関数と仲が良いと言えます。

平行移動

ラプラス変換では(t<0)の場合の信号は0として定義します。なので、tの積分区間に気をつけて、
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [f(t-a)] = \int_{0}^{\infty} f(t-a) e^{-st} dt\\= \int_{-a}^{\infty} f(t_1) e^{-s(t_1+a)} dt_1\\=e^{-as}\int_{-a}^{\infty} f(t_1) e^{-st_1} dt_1\\=e^{-as}(\int_{-a}^{0} f(t_1) e^{-st_1} dt_1+\int_{0}^{\infty} f(t_1) e^{-st_1} dt_1)\\=e^{-as}\int_{0}^{\infty} f(t_1) e^{-st_1} dt_1(\because \int_{-a}^{0} f(t_1) e^{-st_1} dt_1=0)\\=e^{-as}F(s)$

となる。

極値(t→0)

微分の法則を使用する。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] =\int_{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$

sを無限大まで持っていくと、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int_{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt\to 0$

となるので、

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(t\to 0)=\lim_{s \to \infty}sF(s)$

となる。

極値(t→∞)

微分の公式を使用する。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] =\int_{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$

この式において、sを0まで近づけると、以下の様になる。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\lim_{s \to 0}\int_{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt\\=\int_{0}^{\infty }f'(t)e^{0}dt=\int_{0}^{\infty }f'(t)dt\\=f(\infty)-f(0)=\lim_{s \to 0}(sF(s)-f(0))$

これを整理することで、以下の式が得られる。

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(t\to \infty)=\lim_{s \to 0}sF(s)$

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