無限はしご型回路の抵抗値計算について

無限はしご型回路の抵抗値計算について

以下のような、ハシゴ状に抵抗が無限に接続されている抵抗線の合成抵抗を求めろという問題がよくある。この問題に関しての解法を示す。この考え方は伝送線路などの勉強においても役立つだろう。前提となる考え方は、無限大の長さの母線を少し伸ばしたところで抵抗値はさほど変化しないということだ。

この回路をそのまま解析することは難しい。そこで、以下のように数列で考えてみよう。

このような無限大や微小変化といったキーワードには、数列を作り漸化式で解析するというのがお決まりの流れだからである。

ここではハシゴが一段増加することによって、nの値が1だけ増加するという抵抗モデルで考えた。

 

 

これで、大分スッキリしたのではないだろうか?

これを解くと以下のようになる。

ここで、n→∞の場合は、n+1→∞とも考えることができるので、


となるので、

と考えることが出来る。

これを、整理した場合は以下のようになる。


ここで、
とした場合は、

この2次方程式を解いて、正の抵抗値のみ抽出して、R∞=120[Ω]となる。

今回の問題はTwitterのろくさんから頂いた。



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