一次二次遅れ系のボード線図

一次二次遅れ系のボード線図

はじめに

一次、二次遅れ系は、高周波数帯をカットしやすいという理由から、ローパスフィルタとしての利用が期待される。本記事では、ボード線図を用いた周波数によるゲイン解析をPythonで行うことにより、ローパスフィルターはどのようなゲイン線図になるのかを考察する。

一次遅れ系

一次遅れ系はRC回路といった回路で表すことが出来る。

これの、周波数伝達関数Gは以下の様になる。

ゆえに、伝達関数は以下の様になる。

少し電子回路に詳しい方なら分かると思うが、高周波数の入力が生じた場合、コンデンサが優位になるので、出力の利得が低下する。これが、ローパスフィルタの原理である。

さて、いよいよそれをPythonで書いてみよう。

python

# -*- coding: utf-8 -*-
#一次遅れ系
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt


T=float(input("時定数を入力してください"))
print("折点周波数における角速度:"+str(1/T)+"[rad/sec]")

# 伝達関数の定義
num = [1] # 分子の係数
den = [T, 1] # 分母の係数
G = signal.lti(num, den)

# ボード線図の計算
w, mag, phase = signal.bode(G)

# ゲイン線図の描画
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.ylabel("Gain[dB]")
plt.grid()

# 位相線図の描画
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.xlabel("w[rad/sec]")
plt.ylabel("Phase[deg]")
plt.grid()
plt.show()

これにより生じたボード線図を以下に示す。
これは、T=10[s]の時である。

二次遅れ系

次に、ローパスフィルタの性能を高めた二次遅れ系について紹介する。

二次遅れ系の伝達関数Gは以下の様に表すことが出来る。

これについて、ボード線図を描くプログラムは以下の通りである。

このプログラムを用いて描いたボード線図は以下の様になる。

ζ=0.2,ω_n=10[rad/sec]

python

# -*- coding: utf-8 -*-

#2次元遅れ系
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt


jita=float(input("減衰係数"))
omega_n=float(input("共振角周波数"))

# 伝達関数の定義
num = [omega_n] # 分子の係数
den = [1,2*jita*omega_n ,omega_n**2] # 分母の係数
G = signal.lti(num, den)

# ボード線図の計算
w, mag, phase = signal.bode(G)

# ゲイン線図の描画
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.ylabel("Gain[dB]")
plt.grid()

# 位相線図の描画
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.xlabel("w[rad/sec]")
plt.ylabel("Phase[deg]")
plt.grid()
plt.show()

まとめ

一次遅れ系や二次遅れ系はローパスフィルタとして利用される。今回は、ボード線図を用いてそれらの伝達関数が高周波入力になるほどに、出力が遅れて利得が下がるということを示すことが出来た。

参考文献

ボード線図とpython

2次遅れ系と周波数特性

制御工学とボード線図


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